第947章 欧拉公式
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“数形结合的应用大致可分为两种情形——”一名被点到的学生回答道，“一为借助于数的精确性来阐明形的某些属性；一为借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。即‘以数解形’或‘以形助数’。”
“很标准的答案——”藤原佑看着回答者，眉梢微挑，“如果不是你刚说自己是法学系的，我会以为你也是数学系的学生。”
“咳，”男生不好意思地垂下眼，“辅修了一点有关科目。”
是‘一点’，还是‘亿点’？
藤原佑暗自好笑，转头看了一眼内海浩二，给了个‘开始’的示意动作。
“接下去，我们就借助图形的帮助，来认识一下欧拉公式。”
一直停留在首页课程标题上的课件总算变动了一下，‘欧拉公式’四个字跳了出来。
“栗山同学——”藤原佑回到讲台上，看了眼之前被暂缓回答问题的学生，“简单介绍一下欧拉公式的四种形式。”
“是！”栗山正一从座位上站了起来，朗声道：“欧拉公式有四种形式，分别是复变函数中的欧拉公式、拓扑学中的欧拉公式、数论中的欧拉公式以及其他形式的欧拉公式。”
“在复变函数中，欧拉公式表示为：e(ix)= cos(x)+ i×sin(x)——”
见藤原佑走到黑板前拿起粉笔，栗山正一的声音一滞，在前者疑惑回头后才压下想要上前帮忙的心思，继续道：
“其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，x表示一个实数，而cos和sin分别是x的余弦和正弦函数。”
“将x取π，可以得到e(iπ)+1=0——这个恒等式也叫欧拉公式，因为公式将五个最基本的数学常数（0、1、e、i和π）结合在一起，也被认为是数学中最美丽的公式之一。”
“在拓扑学中，欧拉公式用于计算多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系……”
“在数论中……”
“其他形式……”
在栗山正一叙述的过程中，藤原佑将复变函数中的欧拉公式和欧拉恒等式与几个数学名词写在了黑板上，并抽空用外挂看了看小泉红子因打不进电话而发来的长篇大论。
赤魔法的正统继承人先是点出了任何魔法的施展都必须付出相应的代价，且这种代价会随着施法目标的强大而呈指数性地上涨。
魔女在这里还特别点出，所谓的‘强大’是包括在各方面的强大，不管是自身实力，还是名气、地位等，在魔法界都是符合‘强大’的定义的。
而藤原佑这种，基本属于是360°无死角的强了。
以之前的探查法阵为例，照魔女预估，想要对藤原佑这种程度的存在造成实际影响，那至少得花掉赤魔法家族迄今为止所有的积累才有可能达到。
而即便如此，也最多是让人生点诸如感冒、发烧之类的小病，更进一步的，不付出血的代价是完全不可能实现的。
另外对于察觉或阻止对方施法方面，魔女小姐表示普通人阻止是阻止不了的，但以他的灵魂强度来看，不论再隐晦的魔法，只要对方敢在他附近施展，他都可以察觉到不对劲，跟着感觉判断就行。
至于对普通人出手什么的，只能说——正常情况下不会。
毕竟在神秘消退的当今，施法材料已经珍贵到自己练习都不够，一般没什么人会拿来针对一个普通人。
不过魔女小姐同时提及了藤原佑身上的诅咒——谁也不知道被来上那么一下后会不会再度将诅咒激活，因此小泉红子特地将‘不要靠近’重复了三遍，并郑重警告道：如果不想再经受那样的事情的话，就不要触碰对方给出的任何东西、不要遗留任何私人物品，更不要答应对方的任何要求——最好连口头上的答应也不要有。
当然，最后的最后，嘴硬心软的魔女还是表示自己已经赶了过来，让他在期间尽量保护好自己。
只是……现在还没放学吧？
红子这是逃课了？
（负责打掩护的快斗：_(:?」ㄥ)_累瘫）
将注意事项记在心底，藤原佑同时也把最后的几笔文字完成了。
不要遗留私人物品？
垂眸看看黑板槽里还剩的两支新粉笔，藤原佑迟疑了一下，还是借着身体的遮挡把手里的那支给挫骨扬灰了。
正好栗山正一的讲述也接近尾声，藤原佑拍拍手上的灰，转身往讲台桌走去。
“感谢栗山同学的帮助，讲得很好，谢谢——”示意栗山正一坐下，藤原佑在台前站定，“时间有限，我们今天着重讲一下复变函数中的欧拉公式——”
“想要认识这个公式，我们需要先了解一些概念——比如什么是‘实数’、什么是‘虚数’、‘e’又表示着什么之类的……”
“好在我们有不少同学能帮忙——”藤原佑拿起桌上的遥控器，朝屏幕按了一下，“接下来，让我们跟着小A同学一起来从头学习……”
随着按钮按下，课件的显示区域突然变黑，但这次出现的却不是静态的文字或图片，而是有一个橙色的火柴人突然在一片漆黑的背景里跳了出来。
“我们都知道，世界上出现的第一个数字就是‘1’——”
伴随着话语声，一个数字‘1’突然从上掉了下来，众人看着头上被砸了一个包的火柴人，纷纷轻笑出声。
“竟然是动画欸……”底下有人小声议论，但很快就收了声，继续看着动画的演示。
伴着藤原佑进行讲解的声音，屏幕里，橙色小人默默将1扶正，又小心地触碰了一下，动画从‘1＝1’开始，陆续展示了加法的运算、十进制的应用、加法结合律、自然数的无穷、等式的化简、减法的运算、负数的出现，最后镜头拉进，当喜欢动手的橙色小人触碰了一下‘-1’后，‘-1＝e(iπ)’出现了。
接着，‘e(iπ)’突然把脑袋上顶着的i复制了一个拉到身前，众人便眼睁睁地看着变身ie(iπ)的家伙就这么拉开了一道虚拟的门户，水灵灵地消失在了所有人眼前。
“好吧，看来新出现的小家伙不怎么喜欢我们的小A同学，但小A同学显然很想找到它——”藤原佑转头看着屏幕上不停敲击着地面的火柴人，煞有其事地点点头。
拿起遥控器按下暂停键，藤原佑看向底下的学生道：“那么，为了帮助小A同学找到‘ie(iπ)’先生，我们必须先弄明白它逃进了什么地方，有哪位同学知道的吗？”
“虚数空间——”一名同学举手回答，“i×e(iπ)=-i，而i是虚数，所以进入的是虚数空间。”
“很好，看来要进入虚数空间找到‘ie(iπ)’先生，我们得先跟着小A同学找出‘i’先生——”
教授那严肃的语气让底下的学生乐得不行，随着按钮被按动，动画继续播放。
众人跟着火柴人复习了一遍负负得正、乘法运算、乘法结合律，了解了除法的出现，明白了除法是减法的重复，知道了‘0’为什么不能作除数……
当根号运算出现，根号内的数逐渐被火柴人变成负数时，代表虚数i的单位√(-1)也出现了。
“从i×i=√(-1)×√(-1)=-1中可以看出：虽然i是虚数，但i的乘法可以出现实数，那么我们就可以试着在实数轴上找找i的位置——”
暂停动画，藤原佑在黑板上画出一道实数轴，并标上了0、1和-1的位置。
“1×i=i，1×i×i=-1，1×i×i×i=-i，1×i×i×i×i=1——”藤原佑边说边在0的上下两边加上了i和-i，问到：“什么规律能使一个数重复两次后来到相反的位置，重复四次后又回到原点？”
“旋转规律！”底下齐声道。
“看来大家都很心有灵犀啊！”藤原佑看了眼弹幕，发现有不少人也打出了相同的答案。
“所以，我们找到了——”藤原佑在标记的几个点上画了个360°的旋转箭头，并在0的位置垂直画了一条虚数轴，“i的位置。”
动画继续播放，包含实数与虚数的复数出现，伴随着时间的推移，火柴人演示的内容逐渐复杂起来，当下课铃声响起时，欧拉公式正好被‘小A同学’推导完毕。
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“很标准的答案——”藤原佑看着回答者，眉梢微挑，“如果不是你刚说自己是法学系的，我会以为你也是数学系的学生。”
“咳，”男生不好意思地垂下眼，“辅修了一点有关科目。”
是‘一点’，还是‘亿点’？
藤原佑暗自好笑，转头看了一眼内海浩二，给了个‘开始’的示意动作。
“接下去，我们就借助图形的帮助，来认识一下欧拉公式。”
一直停留在首页课程标题上的课件总算变动了一下，‘欧拉公式’四个字跳了出来。
“栗山同学——”藤原佑回到讲台上，看了眼之前被暂缓回答问题的学生，“简单介绍一下欧拉公式的四种形式。”
“是！”栗山正一从座位上站了起来，朗声道：“欧拉公式有四种形式，分别是复变函数中的欧拉公式、拓扑学中的欧拉公式、数论中的欧拉公式以及其他形式的欧拉公式。”
“在复变函数中，欧拉公式表示为：e(ix)= cos(x)+ i×sin(x)——”
见藤原佑走到黑板前拿起粉笔，栗山正一的声音一滞，在前者疑惑回头后才压下想要上前帮忙的心思，继续道：
“其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，x表示一个实数，而cos和sin分别是x的余弦和正弦函数。”
“将x取π，可以得到e(iπ)+1=0——这个恒等式也叫欧拉公式，因为公式将五个最基本的数学常数（0、1、e、i和π）结合在一起，也被认为是数学中最美丽的公式之一。”
“在拓扑学中，欧拉公式用于计算多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系……”
“在数论中……”
“其他形式……”
在栗山正一叙述的过程中，藤原佑将复变函数中的欧拉公式和欧拉恒等式与几个数学名词写在了黑板上，并抽空用外挂看了看小泉红子因打不进电话而发来的长篇大论。
赤魔法的正统继承人先是点出了任何魔法的施展都必须付出相应的代价，且这种代价会随着施法目标的强大而呈指数性地上涨。
魔女在这里还特别点出，所谓的‘强大’是包括在各方面的强大，不管是自身实力，还是名气、地位等，在魔法界都是符合‘强大’的定义的。
而藤原佑这种，基本属于是360°无死角的强了。
以之前的探查法阵为例，照魔女预估，想要对藤原佑这种程度的存在造成实际影响，那至少得花掉赤魔法家族迄今为止所有的积累才有可能达到。
而即便如此，也最多是让人生点诸如感冒、发烧之类的小病，更进一步的，不付出血的代价是完全不可能实现的。
另外对于察觉或阻止对方施法方面，魔女小姐表示普通人阻止是阻止不了的，但以他的灵魂强度来看，不论再隐晦的魔法，只要对方敢在他附近施展，他都可以察觉到不对劲，跟着感觉判断就行。
至于对普通人出手什么的，只能说——正常情况下不会。
毕竟在神秘消退的当今，施法材料已经珍贵到自己练习都不够，一般没什么人会拿来针对一个普通人。
不过魔女小姐同时提及了藤原佑身上的诅咒——谁也不知道被来上那么一下后会不会再度将诅咒激活，因此小泉红子特地将‘不要靠近’重复了三遍，并郑重警告道：如果不想再经受那样的事情的话，就不要触碰对方给出的任何东西、不要遗留任何私人物品，更不要答应对方的任何要求——最好连口头上的答应也不要有。
当然，最后的最后，嘴硬心软的魔女还是表示自己已经赶了过来，让他在期间尽量保护好自己。
只是……现在还没放学吧？
红子这是逃课了？
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将注意事项记在心底，藤原佑同时也把最后的几笔文字完成了。
不要遗留私人物品？
垂眸看看黑板槽里还剩的两支新粉笔，藤原佑迟疑了一下，还是借着身体的遮挡把手里的那支给挫骨扬灰了。
正好栗山正一的讲述也接近尾声，藤原佑拍拍手上的灰，转身往讲台桌走去。
“感谢栗山同学的帮助，讲得很好，谢谢——”示意栗山正一坐下，藤原佑在台前站定，“时间有限，我们今天着重讲一下复变函数中的欧拉公式——”
“想要认识这个公式，我们需要先了解一些概念——比如什么是‘实数’、什么是‘虚数’、‘e’又表示着什么之类的……”
“好在我们有不少同学能帮忙——”藤原佑拿起桌上的遥控器，朝屏幕按了一下，“接下来，让我们跟着小A同学一起来从头学习……”
随着按钮按下，课件的显示区域突然变黑，但这次出现的却不是静态的文字或图片，而是有一个橙色的火柴人突然在一片漆黑的背景里跳了出来。
“我们都知道，世界上出现的第一个数字就是‘1’——”
伴随着话语声，一个数字‘1’突然从上掉了下来，众人看着头上被砸了一个包的火柴人，纷纷轻笑出声。
“竟然是动画欸……”底下有人小声议论，但很快就收了声，继续看着动画的演示。
伴着藤原佑进行讲解的声音，屏幕里，橙色小人默默将1扶正，又小心地触碰了一下，动画从‘1＝1’开始，陆续展示了加法的运算、十进制的应用、加法结合律、自然数的无穷、等式的化简、减法的运算、负数的出现，最后镜头拉进，当喜欢动手的橙色小人触碰了一下‘-1’后，‘-1＝e(iπ)’出现了。
接着，‘e(iπ)’突然把脑袋上顶着的i复制了一个拉到身前，众人便眼睁睁地看着变身ie(iπ)的家伙就这么拉开了一道虚拟的门户，水灵灵地消失在了所有人眼前。
“好吧，看来新出现的小家伙不怎么喜欢我们的小A同学，但小A同学显然很想找到它——”藤原佑转头看着屏幕上不停敲击着地面的火柴人，煞有其事地点点头。
拿起遥控器按下暂停键，藤原佑看向底下的学生道：“那么，为了帮助小A同学找到‘ie(iπ)’先生，我们必须先弄明白它逃进了什么地方，有哪位同学知道的吗？”
“虚数空间——”一名同学举手回答，“i×e(iπ)=-i，而i是虚数，所以进入的是虚数空间。”
“很好，看来要进入虚数空间找到‘ie(iπ)’先生，我们得先跟着小A同学找出‘i’先生——”
教授那严肃的语气让底下的学生乐得不行，随着按钮被按动，动画继续播放。
众人跟着火柴人复习了一遍负负得正、乘法运算、乘法结合律，了解了除法的出现，明白了除法是减法的重复，知道了‘0’为什么不能作除数……
当根号运算出现，根号内的数逐渐被火柴人变成负数时，代表虚数i的单位√(-1)也出现了。
“从i×i=√(-1)×√(-1)=-1中可以看出：虽然i是虚数，但i的乘法可以出现实数，那么我们就可以试着在实数轴上找找i的位置——”
暂停动画，藤原佑在黑板上画出一道实数轴，并标上了0、1和-1的位置。
“1×i=i，1×i×i=-1，1×i×i×i=-i，1×i×i×i×i=1——”藤原佑边说边在0的上下两边加上了i和-i，问到：“什么规律能使一个数重复两次后来到相反的位置，重复四次后又回到原点？”
“旋转规律！”底下齐声道。
“看来大家都很心有灵犀啊！”藤原佑看了眼弹幕，发现有不少人也打出了相同的答案。
“所以，我们找到了——”藤原佑在标记的几个点上画了个360°的旋转箭头，并在0的位置垂直画了一条虚数轴，“i的位置。”
动画继续播放，包含实数与虚数的复数出现，伴随着时间的推移，火柴人演示的内容逐渐复杂起来，当下课铃声响起时，欧拉公式正好被‘小A同学’推导完毕。
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