第819章 通往庞加莱猜想的钥匙
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佩雷尔曼并不是简单地把常浩南当初发给他的步骤重新写了一遍——
对于他这个等级的数学家来说，做这种事情多少有点跌份。
而是在那个证明方式的基础上，又进行了一些优化。
“为了更进一步体现这个证明的优美，我们先引入一个概念：Τ-长度……”
“这……还……还记么？”
趁着佩雷尔曼在黑板上写方程的当口，一名青年教师哭笑不得地看着刚刚被擦干净的黑板，以及自己面前密密麻麻写了好几页纸的本子，甩了甩有些酸胀的手腕，小声对旁边的女友问道。
他并非微分几何方向的研究人员，刚才只是当了一波无情的抄笔记工具人，而现在……
实在是有点写不动了。
“当然要记，你看连常教授都在低头记，你难道比他还厉害？”
旁边几名听到这句话的人，瞬间把目光投向了远处……
发现果然，在刚刚一直只是坐着听的常浩南，现在竟然也不知道从哪掏出来了個本子，正在上面写写画画。
“嘶……”
又是齐刷刷一阵吸气声。
紧接着齐刷刷一阵翻页声。
最后是纸笔摩擦时传来的沙沙声……
只不过，如果有离着常浩南比较近的人凑过去看一眼的话，就会发现，实际上常浩南在纸上写的，并不是黑板上面的内容。
而是用铅笔画了一个球。
这是极其少见的情况。
因为对于微分几何领域的研究来说，高维空间往往比低维空间要容易。
就以庞加莱猜想为例，五维甚至四维空间下的庞加莱猜想实际上早就已经被证明。
但三维空间这道关口却始终未被攻克。
而众所周知。
在纸上，是不可能画出一个高维空间的。
只能靠想象，或者计算。
实际上，就连佩雷尔曼此时此刻在黑板上讲的内容，也是以四维空间为主。
但是，他在黑板上优化出来的这些内容，却给常浩南指明了一种全新的可能……
“假如这是一个由有限群作用生成的自由等距商空间，那么它似乎会微分同胚于一个三维紧致流形……”
常浩南的耳边已经逐渐听不到佩雷尔曼的声音：
“似乎不能直接下这种结论。”
他微微皱起眉头：
“但如果增加一个限定条件……令这个流形的里奇曲率为非负的话……”
“……”
台下，常浩南正低着头，沉浸在自己的思绪当中。
而台上，佩雷尔曼正在照常进行着讲座。
按照计划，比较过三类奇异模型之后，他将可以推导出跟刚才一样的结论。
在又一次用尽了一面黑板之后，佩雷尔曼照例走到下一面旁边。
但这次，却没有马上动笔。
而是抬手擦了擦额头上的汗。
他已经在台上连续不断地讲了近两个小时。
精力和体力确实有点跟不上了。
实际上，黑板上面的这个思路，甚至是他在来华夏的飞机上面想到的，把它作为讲座内容，也是带着点边介绍边验证的意思。
所以，要比一般单纯的讲座费神很多。
好在旁边的工作人员早就已经准备好，趁着这个机会赶紧把一杯温水放在了小桌子上——
如果是个华夏学者，这个环节一般会直接上热茶，但考虑到外国人可能会不适应这个步骤导致被烫着，因此在唐林天的特地关照下降低了温度。
佩雷尔曼也不客气，顺势来到桌边拿起茶杯，一边喝着水，一边看着已经被自己写满的前两面黑板。
突然，他手上的动作停顿住了。
视线聚焦到了第一面黑板的下方。
由于是第一次系统性地梳理这种方式，因此有些细节，甚至连佩雷尔曼自己都没能在第一时间注意到。
那里是一个不等式。
R≥(-v)[lg(-v)+lg(1+t)-3]
原本，他只是将其作为推导过程中产生的一个平常估计，但现在回看的话，似乎可以沿着这个方向获得一些很有趣的结论……
比如，当曲率在时刻趋向无穷时，最小的负的截面曲率比最大的正的截面曲率要小。
换句话说，三维极限解必定有非负曲率算子。
没错，三维。
佩雷尔曼甚至连茶杯都来不及放下，便转身看向台下坐着的常浩南。
发现后者正在专心致志地低头写着什么。
而这个时候，常浩南也总算在纸上证明出了自己刚刚的那个猜想。
他抬起头。
视线与佩雷尔曼突然交汇。
尽管二人之间没有说任何一句话，但都从眼神中看出了一件事——
对方和自己，想到了一块。
两名微分几何领域的顶级学者，通过相对独立的思考，最终得出了一样的结论。
那基本可以排除这个结论错误的可能。
也就是说，在三维空间中对里奇流进行手术，是可行的。
而对于千禧年这会的微分几何学家来说，一个共识是。
要想解决三维空间下的庞加莱猜想问题，使用里奇流的几何化方法要比直接的拓扑学方法更加可行。
因此。
这很可能就是一把钥匙。
一把通往庞加莱猜想的钥匙。
当然，即便真的用这把钥匙打开了门，也还有一些工作要做。
比如要保证能在有限次的运算中，找到合适的neck区域进行截断手术。
还要解决一般初始度量导致里奇流产生奇点点的问题。
但是。
这些都是细节问题。
甚至可以说是只靠消耗时间就必定能解决的问题。
如果说，常氏引理对于庞加莱猜想而言，只是万里长征第一步。
那么今天的结论——
或许可以称之为三维流形定理，或者更干脆点说，佩雷尔曼-常定理，则已经可以算是“行百里者半九十”。
当然，无论佩雷尔曼还是常浩南，都不会同意把两个人的姓氏组合用在这个地方。
因为按照这个方向继续下去，二人的姓氏，将很可能被直接冠于“庞加莱”的后面。
……
而与此同时，下面的其他听众也在趁着这难得的缓冲期回顾刚刚记下来的笔记内容。
当然，这些人并未参与到黑板上过程的最初推导当中，因此思维定势决定了，他们肯定会沿着佩雷尔曼在黑板上写下的步骤去思考，而不会看出，至少在短时间内不会看出，其中一个不起眼的不等式，会对整个数学界产生历史性的影响。
不过，其中的大多数毕竟都是专业数学家，因此，倒也不可能全无收获……
“我好像看明白了……”
田纲第一个舒展开了眉头。
虽然佩雷尔曼此时还并没有把整个推导过程写完，但他已经想到了后面剩下的步骤。
相比于令人头大的第一种解法，目前写在黑板上面的这种明显要简洁易懂得多。
“确实是……精妙至极的证法……这样就可以直接计算出紧致流形的局部内射半径……”
“叫做非局部坍缩定理，非常准确……”
他小声的自言自语吸引到了旁边几个人的注意。
很快，田纲的笔记便传阅开来。
而台上的佩雷尔曼，却仍然站在原地双手抱胸看着面前的黑板，没有说话。
刚刚安静的阶梯教室逐渐响起一些窃窃私语声。
“不愧是田教授啊……能比最先得出成果的本人都快。”
一名学者看着面前的笔记本，又抬头对照了一下黑板上写到一半的内容。
“哪里……人家已经站了两个小时，都推到一半了，我这也就是仗着精力充沛，才占了个便宜……”
田纲摆了摆手。
话虽如此，他心里还是比较高兴的——
虽然成果肯定属于人家佩雷尔曼，或许还有对方刚刚提到的常浩南，但自己能在没看完证明过程之前就自己推导出来，至少说明在能力上没有被落下太远……
当然，此时的他还不知道。
佩雷尔曼之所以停下，是因为已经看到了一条通往更高山峰的路。
相比之下，现在黑板上的这些东西，根本不值一提……
“请给我几张纸，谢谢。”
几分钟的沉默过后，佩雷尔曼重新开口的第一句话，却并不是继续介绍他的思路，而向场务要来了纸笔。
“嗯？”
“为什么突然要这些……”
“难道是发现推导过程有问题？”
“不能吧……我刚隐约听见，前面的几个老师，都已经按照这个思路推出来了，而且我理解着也感觉挺顺的……”
“有没有这样一种可能，就是说连咱们都能理解，反而更有可能是哪里出了问题？”
“别吧……”
“……”
奇怪的举动令现场再次躁动起来。
但佩雷尔曼却对此置若罔闻。
他接过纸笔，坐在那张临时安放的课桌前面，低头开始了自己的计算……
(本章完)
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对于他这个等级的数学家来说，做这种事情多少有点跌份。
而是在那个证明方式的基础上，又进行了一些优化。
“为了更进一步体现这个证明的优美，我们先引入一个概念：Τ-长度……”
“这……还……还记么？”
趁着佩雷尔曼在黑板上写方程的当口，一名青年教师哭笑不得地看着刚刚被擦干净的黑板，以及自己面前密密麻麻写了好几页纸的本子，甩了甩有些酸胀的手腕，小声对旁边的女友问道。
他并非微分几何方向的研究人员，刚才只是当了一波无情的抄笔记工具人，而现在……
实在是有点写不动了。
“当然要记，你看连常教授都在低头记，你难道比他还厉害？”
旁边几名听到这句话的人，瞬间把目光投向了远处……
发现果然，在刚刚一直只是坐着听的常浩南，现在竟然也不知道从哪掏出来了個本子，正在上面写写画画。
“嘶……”
又是齐刷刷一阵吸气声。
紧接着齐刷刷一阵翻页声。
最后是纸笔摩擦时传来的沙沙声……
只不过，如果有离着常浩南比较近的人凑过去看一眼的话，就会发现，实际上常浩南在纸上写的，并不是黑板上面的内容。
而是用铅笔画了一个球。
这是极其少见的情况。
因为对于微分几何领域的研究来说，高维空间往往比低维空间要容易。
就以庞加莱猜想为例，五维甚至四维空间下的庞加莱猜想实际上早就已经被证明。
但三维空间这道关口却始终未被攻克。
而众所周知。
在纸上，是不可能画出一个高维空间的。
只能靠想象，或者计算。
实际上，就连佩雷尔曼此时此刻在黑板上讲的内容，也是以四维空间为主。
但是，他在黑板上优化出来的这些内容，却给常浩南指明了一种全新的可能……
“假如这是一个由有限群作用生成的自由等距商空间，那么它似乎会微分同胚于一个三维紧致流形……”
常浩南的耳边已经逐渐听不到佩雷尔曼的声音：
“似乎不能直接下这种结论。”
他微微皱起眉头：
“但如果增加一个限定条件……令这个流形的里奇曲率为非负的话……”
“……”
台下，常浩南正低着头，沉浸在自己的思绪当中。
而台上，佩雷尔曼正在照常进行着讲座。
按照计划，比较过三类奇异模型之后，他将可以推导出跟刚才一样的结论。
在又一次用尽了一面黑板之后，佩雷尔曼照例走到下一面旁边。
但这次，却没有马上动笔。
而是抬手擦了擦额头上的汗。
他已经在台上连续不断地讲了近两个小时。
精力和体力确实有点跟不上了。
实际上，黑板上面的这个思路，甚至是他在来华夏的飞机上面想到的，把它作为讲座内容，也是带着点边介绍边验证的意思。
所以，要比一般单纯的讲座费神很多。
好在旁边的工作人员早就已经准备好，趁着这个机会赶紧把一杯温水放在了小桌子上——
如果是个华夏学者，这个环节一般会直接上热茶，但考虑到外国人可能会不适应这个步骤导致被烫着，因此在唐林天的特地关照下降低了温度。
佩雷尔曼也不客气，顺势来到桌边拿起茶杯，一边喝着水，一边看着已经被自己写满的前两面黑板。
突然，他手上的动作停顿住了。
视线聚焦到了第一面黑板的下方。
由于是第一次系统性地梳理这种方式，因此有些细节，甚至连佩雷尔曼自己都没能在第一时间注意到。
那里是一个不等式。
R≥(-v)[lg(-v)+lg(1+t)-3]
原本，他只是将其作为推导过程中产生的一个平常估计，但现在回看的话，似乎可以沿着这个方向获得一些很有趣的结论……
比如，当曲率在时刻趋向无穷时，最小的负的截面曲率比最大的正的截面曲率要小。
换句话说，三维极限解必定有非负曲率算子。
没错，三维。
佩雷尔曼甚至连茶杯都来不及放下，便转身看向台下坐着的常浩南。
发现后者正在专心致志地低头写着什么。
而这个时候，常浩南也总算在纸上证明出了自己刚刚的那个猜想。
他抬起头。
视线与佩雷尔曼突然交汇。
尽管二人之间没有说任何一句话，但都从眼神中看出了一件事——
对方和自己，想到了一块。
两名微分几何领域的顶级学者，通过相对独立的思考，最终得出了一样的结论。
那基本可以排除这个结论错误的可能。
也就是说，在三维空间中对里奇流进行手术，是可行的。
而对于千禧年这会的微分几何学家来说，一个共识是。
要想解决三维空间下的庞加莱猜想问题，使用里奇流的几何化方法要比直接的拓扑学方法更加可行。
因此。
这很可能就是一把钥匙。
一把通往庞加莱猜想的钥匙。
当然，即便真的用这把钥匙打开了门，也还有一些工作要做。
比如要保证能在有限次的运算中，找到合适的neck区域进行截断手术。
还要解决一般初始度量导致里奇流产生奇点点的问题。
但是。
这些都是细节问题。
甚至可以说是只靠消耗时间就必定能解决的问题。
如果说，常氏引理对于庞加莱猜想而言，只是万里长征第一步。
那么今天的结论——
或许可以称之为三维流形定理，或者更干脆点说，佩雷尔曼-常定理，则已经可以算是“行百里者半九十”。
当然，无论佩雷尔曼还是常浩南，都不会同意把两个人的姓氏组合用在这个地方。
因为按照这个方向继续下去，二人的姓氏，将很可能被直接冠于“庞加莱”的后面。
……
而与此同时，下面的其他听众也在趁着这难得的缓冲期回顾刚刚记下来的笔记内容。
当然，这些人并未参与到黑板上过程的最初推导当中，因此思维定势决定了，他们肯定会沿着佩雷尔曼在黑板上写下的步骤去思考，而不会看出，至少在短时间内不会看出，其中一个不起眼的不等式，会对整个数学界产生历史性的影响。
不过，其中的大多数毕竟都是专业数学家，因此，倒也不可能全无收获……
“我好像看明白了……”
田纲第一个舒展开了眉头。
虽然佩雷尔曼此时还并没有把整个推导过程写完，但他已经想到了后面剩下的步骤。
相比于令人头大的第一种解法，目前写在黑板上面的这种明显要简洁易懂得多。
“确实是……精妙至极的证法……这样就可以直接计算出紧致流形的局部内射半径……”
“叫做非局部坍缩定理，非常准确……”
他小声的自言自语吸引到了旁边几个人的注意。
很快，田纲的笔记便传阅开来。
而台上的佩雷尔曼，却仍然站在原地双手抱胸看着面前的黑板，没有说话。
刚刚安静的阶梯教室逐渐响起一些窃窃私语声。
“不愧是田教授啊……能比最先得出成果的本人都快。”
一名学者看着面前的笔记本，又抬头对照了一下黑板上写到一半的内容。
“哪里……人家已经站了两个小时，都推到一半了，我这也就是仗着精力充沛，才占了个便宜……”
田纲摆了摆手。
话虽如此，他心里还是比较高兴的——
虽然成果肯定属于人家佩雷尔曼，或许还有对方刚刚提到的常浩南，但自己能在没看完证明过程之前就自己推导出来，至少说明在能力上没有被落下太远……
当然，此时的他还不知道。
佩雷尔曼之所以停下，是因为已经看到了一条通往更高山峰的路。
相比之下，现在黑板上的这些东西，根本不值一提……
“请给我几张纸，谢谢。”
几分钟的沉默过后，佩雷尔曼重新开口的第一句话，却并不是继续介绍他的思路，而向场务要来了纸笔。
“嗯？”
“为什么突然要这些……”
“难道是发现推导过程有问题？”
“不能吧……我刚隐约听见，前面的几个老师，都已经按照这个思路推出来了，而且我理解着也感觉挺顺的……”
“有没有这样一种可能，就是说连咱们都能理解，反而更有可能是哪里出了问题？”
“别吧……”
“……”
奇怪的举动令现场再次躁动起来。
但佩雷尔曼却对此置若罔闻。
他接过纸笔，坐在那张临时安放的课桌前面，低头开始了自己的计算……
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